Απαντήσεις Μαθηματικών Γενικής Παιδείας

Α1. Απόδειξη σελ. 31 Σχολικού Βιβλίου Α2. Ορισµός σελ. 22 Σχολικού Βιβλίου Α3. Ορισµός σελ. 87 Σχολικού Βιβλίου Α4. α → Λ β → Σ γ → Λ δ → Λ ε → Σ ΘΕΜΑ Β Β1. ( )( ) 2 3x 1 8x 6x 1 0 − − + =⇒ 2 1 3x 1 0 x 3 1 x 2 8x 6x 1 0 1 x 4 ⎧ −= ⇔ = ⎪ ⎪ ⇒ ⎪ ⎧ ⎨ = ⎪⎪ ⎪ − += ⇔ ⎨ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎩ ⎪⎩ Επειδή ισχύει: ABAAB ∩⊆ ⊆∪ και PA B ( ) ∩ , P A( ) , PA B ( ∪ ) ανήκουν στο σύνολο 111 , , 432 ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ , θα είναι ( ) 1 PA B 4 ∩ = , ( ) 1 P A 3 = και ( ) 1 PA B 2 ∪ = . Β2. PA B PA B PA B PB A PB PA B ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ′ ′′ ′ ′ ′ − = ∩ = ∩= −= − ∩ Από προσθετικό νόµο ισχύει: PA B PA PB PA B PB PA B PA B PA ( ) ( ) () ( ) ∪= + − ∩⇔ = ∪+ ∩− ⇔ ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) 1 1 1 634 5 PB PB PB 2 4 3 12 12 + − =+−⇔ = ⇔ = Άρα ( ) 5 1 53 1 PA B 12 4 12 6 − ′ ′ − = −= = () ( ) ( ) ( ) 1 3 P ∆ P A B 1 PA B 1 4 4 ′ = ∩ =− ∩ =− = Β3. P E P A B B A P A P B 2P A B ( ) = −∪− = + − ∩= (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 1 5 1 456 3 1 2 3 12 4 12 12 4 + − =+ − = = = Β4. 1 2 2 2 x 3 9x 3x 2 0 1 x 3 ⎧ = ⎪⎪ − −=⇒ ⎨ ⎪ = − ⎪⎩ ( ) 1 2 P Γ , 3 3 ⎧ ⎫ ∈ −⎨ ⎬ ⎩ ⎭ και 0 P ≤ ≤ ( ) Γ 1 άρα ( ) 2 P Γ 3 = Έστω ότι τα ενδεχόµενα Β και Γ είναι ασυµβίβαστα, τότε από απλό προσθετικό νόµο ισχύει ( ) () () 5 2 5 8 13 P Β Γ P Β P Γ 1 12 3 12 12 + ∪ = + = += = > άτοπο Άρα τα ενδεχόµενα Β και Γ δεν είναι ασυµβίβαστα. ΘΕΜΑ Γ Γ1. 1 1 f % 10 f 0,1 = ⇔= 5 5 f % 30 f 0,3 = ⇔= ο 3 33 3 3 3 3 ο α 108 α f 360 f f f 0,3 f % 30 360 360 =⋅ ⇔= ⇔ = ⇔= ⇔ = 12345 2 4 f f f f f 1 0,1 f 0,3 f 0,3 1 + + + + =⇔ + + + + =⇔ 24 4 2 f f 0,3 f 0,3 f += ⇔= − (1) 11 2 2 3 3 4 4 5 5 x xf xf xf xf xf =+ + + + 2 4 14 9 0,1 11 f 13 0,3 15 f 17 0,3 =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ (1) 2 4 24 14 0,9 11 f 3,9 15 f 5,1 11 f 15 f 4,1 = +⋅+ +⋅+ ⇔⋅+⋅= ⇒ 11 f 15 0,3 f 4,1 11 f 4,5 15 f 4,1 ⋅+ − = ⇔⋅+ −⋅= ⇔ 22 22 ( ) 2 22 − =− ⇔ = ⇔ = 4f 0,4 f 0,1 f % 10 (1) 4 44 ⇒= − ⇒= ⇔ = f 0,3 0,1 f 0,2 f % 20 Γ2. ( ) ( ) ( ) κκ κ 22 2 2 22 i ii i i i i1 i1 i1 1 v s x xv s x x s x x f v v == = = − ⇔= − ⋅⇔= − ⋅ ∑∑ ∑ () ( ) ( ) ( ) ( ) 222 2 2 2 s 9 14 0,1 11 14 0,1 13 14 0,3 15 14 0,2 17 14 0,3 =− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ 2 s 25 0,1 9 0,1 1 0,3 1 0,2 9 0,3 = ⋅ + ⋅ +⋅ +⋅ + ⋅ 2 s 2,5 0,9 0,3 0,2 2,7 =++++ 2 s 6,6 s 6,6 s 2,57 = ⇔= ⇔ s 2,57 CV 0,184 18,4% 10% x 14 == = > άρα το δείγµα των παρατηρήσεων δεν είναι οµοιογενές. Γ3. 44 4 i i i i ii i1 i1 i1 v 1780 1780 x v 1780 x x f == = vv v ∑∑ ∑ =⇔ =⇔ =⇔ 1780 9 0,1 11 0,1 13 0,3 15 0,2 v ⋅ +⋅ +⋅ +⋅ = ⇔ 1780 1780 1780 0,9 1,1 3,9 3 8,9 v v 200 v v 8,9 + + += ⇔ = ⇔ = ⇔ = Γ4. ββ ββ β 12345 β 5 ++++ = = 1 2 5 αα α 12 5 α α αα α α α ... ss s α αα α ... α α 5 5s − − − + ++ −+ −++ − = = ⋅ 12 5 α α αα α α ... α 5α αα 0 5s 5s s s + ++ − =−= ⋅ ⋅ ( ) ( ) ( ) 22 2 22 2 12 5 2 12 5 β ββ β β ... β β β β ... β s 5 5 − + − ++ − + ++ = == 22 2 1 2 5 αα α αα α α α α ... ss s 5 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ++ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ( ) ( ) ( ) 22 2 2 12 5 α 2 2 α α αα α α ... α α s 1 5s s − + − ++ − = = ⋅ , άρα β s 1 = ΘΕΜΑ ∆ ∆1. 0 A B ∆ Γ x 222 ΑΒ Α∆ Β∆ + = ⇔ 2 22 x + Α∆ = ⇔ 10 2 2 Α∆ =100 x − ⇔ 2 Α∆ = 100 x − ( ) 2 ΑΒΓ∆ ΑΒ Α∆ = ⋅ =⋅ − x 100 x Πρέπει AB 0 x 0 >⇔> και 2 Α∆ >⇔ − >⇔ 0 100 x 0 x 0 2 2 100 x 0 x 100 x 10 > − >⇔ < ⇔< Άρα ( ) 2 f x x 100 x = − , 0 x 10 < < ∆2. () () ( ) ( ) 2 22 2 1 f x x 100 x x 100 x 100 x x 2x 2 100 x ′ ′ ′ = −+ − = −+ − − 2 2 = −− 100 x 2 x 2 2 2 2 2 100 x x 100 x 100 x − − = = − − 2 2 100 2x 100 x − = − , 0 x 10 < < ( ) 2 2 2 2 100 2x f x 0 0 100 2x 0 2x 100 100 x − ′ =⇔ =⇔ − =⇔ = ⇔ − ( ) x 0 2 x 50 x 5 2 0, 10 > = ⇔= ∈ δεκτή ( ) 2 2 100 x 0 2 2 100 2x f x 0 0 100 2x 0 100 x − > − ′ >⇔ > ⇔ − >⇔ − x 0 2 x 50 x 5 2 > < ⇔< ( ) x 0 f x 0 x 52 > ′ <⇔> x f΄ f 0 Μεγ. 0 + 2 Άρα το εµβαδόν γίνεται µέγιστο όταν x 52 = . Τότε ( )2 2 Α∆ = −= − = −= = 100 x 100 5 2 100 50 50 5 2 Άρα ΑΒ Α∆ = , δηλαδή το εµβαδόν γίνεται µέγιστο όταν το ορθογώνιο ΑΒΓ∆ είναι τετράγωνο. ∆3. ( ) ( ) ( ) x0 x0 f 1 x 99 f 1 x f 1 1 lim lim → → 98 x 98 x +− +− = = ⋅ ( ) 1 1 100 2 1 98 1 99 f 1 98 98 99 100 1 98 99 99 − ⋅ ⋅ =⋅ = = = ′ − ∆4. 0 PA B PA PA B PA 1 < −= − ∩≤ ≤ ( ) ( )( ) ( ) ( ) () ( ] ( ) ( ) ( ) ( ) f / 0,1 PA B PA fPA B f PA −≤ ⇔ − ≤ ⇔ () () () () ( ) ( ) 2 2 100 P A B 0 2 2 100 P A 0 P A B 100 P A B P A 100 P A − − > − > − − −≤ − ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 PA B PA 100 P A 100 P A B − ≤ − −− (1) 0 PA B 1 < −≤ ( ) (2) () () ( ) 2 2 0 PA 1 0 P A 1 1 P A 0 < ≤ ⇔ < ≤ ⇔− ≤− < ⇔ ( ) ( ) 2 2 99 100 P A 100 99 100 P A 10 ≤ − < ⇔ ≤ − <⇔ ( ) 2 11 1 10 100 P A 99 < ≤ − (3) (2), (3) ( ) ( ) 2 PA B 1 0 100 P A 99 − ⇒< ≤ − Οµοίως ( ) ( ) 2 P A 1 0 100 P A B 99 < ≤ − − Αφού f στο 1 0, 99 ⎛ ⎤ ⎜ ⎥ ⎝ ⎦ από (1) ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 PA B PA f f 100 P A 100 P A B ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ≤ − −− ⎝ ⎠⎝ ⎠