Θέματα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β΄) ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: 5(ΠΕΝΤΕ) ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f ,g είναι παραγωγίσιμες στο , να αποδείξετε ότι f x g x f x g x , x                Μονάδες 7 Α2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Α3. Αν 1 2 ν x , x , ..., x είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w , w , ..., w 1 2 ν είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας), να ορίσετε τον σταθμικό μέσο της μεταβλητής Χ. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν για τη συνάρτηση f ισχύουν f x 0  0   για   0 x  α,β , f x 0    στο α,x0  και f x 0    στο x , 0 β , τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο διάστημα α,β για 0 x x  . β) Ένα τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο. γ) Η διακύμανση των παρατηρήσεων μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ εκφράζεται με τις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ δ) Αν για τους συντελεστές μεταβολής των δειγμάτων Α και Β ισχύει CV >CV B A , τότε λέμε ότι το δείγμα Β εμφανίζει μεγαλύτερη ομοιογένεια από το δείγμα Α. ε) Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε η έκφραση «η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β» δηλώνει ότι Α Β  . Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Β Έστω Α, Β και Γ ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω . Οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α , A B και A B ανήκουν στο σύνολο λύσεων της εξίσωσης     2 3x 1 8x 6x 1 0.      Η πιθανότητα του ενδεχομένου Γ ανήκει στο σύνολο λύσεων της εξίσωσης 2 9x 3x 2 0    . Β1. Να αποδείξετε ότι 1 1 1 P(A) , P(A B) και P(A B) 3 4 2    . Μονάδες 5 Β2. Να υπολογίσετε την πιθανότητα P(A B )    , καθώς επίσης και την πιθανότητα του ενδεχομένου Δ: «πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β». Μονάδες 8 Β3. Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Ε: «πραγματοποιείται μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β». Μονάδες 6 Β4. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων μιας συνεχούς ποσοτικής μεταβλητής Χ, τις οποίες ομαδοποιούμε σε 5 ισοπλατείς κλάσεις, όπως παρουσιάζονται στον Πίνακα Ι, όπου i f %, i 1,2,3,4,5  είναι οι σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό των αντιστοίχων κλάσεων. Θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες. Δίνεται ότι :  Το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που είναι μικρότερες του 10 είναι 10%.  Το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 16 είναι 30%.  Στο κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων, η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην 3η κλάση είναι 108ο .  Η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι x 14  . ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Ι Γ1. Να αποδείξετε ότι 1 2 3 4 5 f % 10, f % 10, f % 30, f % 20, f % 30      . Δεν είναι απαραίτητο να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον Πίνακα Ι συμπληρωμένο. Μονάδες 6 Γ2. Να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων είναι ομοιογενές. Δίνεται ότι 6,6 2,57. Μονάδες 7 Γ3. Έστω 1 2 3 x , x , x και 4 x τα κέντρα της 1ης, 2ης, 3ης και 4ης κλάσης αντίστοιχα και 1 2 3 ν , ν , ν και 4 ν οι συχνότητες της 1 ης, 2ης, 3ης και 4ης κλάσης αντίστοιχα. Αν 4 i i i 1 x ν 1780    , βρείτε το πλήθος ν των παρατηρήσεων του δείγματος. Μονάδες 5 Γ4. Έστω 1 2 3 4 5      , , , , πέντε τυχαία επιλεγμένες παρατηρήσεις διαφορετικές μεταξύ τους από το παραπάνω δείγμα ν παρατηρήσεων. Ορίζουμε ως  τη μέση τιμή των πέντε αυτών παρατηρήσεων και Sα την τυπική τους απόκλιση. Εάν i i S      , για i=1, 2, 3, 4, 5, να δείξετε ότι η μέση τιμή  του δείγματος βi , i=1, 2, 3, 4, 5 είναι ίση με 0 και η τυπική του απόκλιση Sβ είναι ίση με 1. Μονάδες 7 Kλάσεις fi% [8 , 10) [10 , 12) [12 , 14) [14 , 16) [16 , 18) ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) με κέντρο Ο και ακτίνα ρ=5 και ορθογώνιο ΑΒΓΔ εγγεγραμμένο στον κύκλο αυτόν με πλευρά ΑΒ=x, όπως φαίνεται στο Σχήμα Ι. ΣΧΗΜΑ Ι Δ1. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ, ως συνάρτηση του x, δίνεται από τον τύπο 2 f(x) x 100 x , 0 x 10.      Μονάδες 4 Δ2. Να βρείτε την τιμή του x για την οποία το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ γίνεται μέγιστο. Για την τιμή αυτήν του x, δείξτε ότι το ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. Μονάδες 5 Δ3. Να υπολογίσετε το όριο x 0 (1 x) 99 lim 98 x f     . Μονάδες 8 Δ4. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν P(A-B)>0, να δείξετε ότι 2 2 P(A B) P(A) 100 P (A) 100 P (A B) f f                      . Μονάδες 8 A x Δ Γ Β Ο ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάε